三角形內(nèi)角和定理證明中化歸思想的滲透

2007-11-28 10:24:15 　來源：網(wǎng)絡(luò) 文章作者：馬軍

所謂化歸思想，就是在面臨新問題時，總企圖將它轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決了的問題或者比較熟悉的問題來解決。初中數(shù)學(xué)尤其是幾何教學(xué)中，很多問題都可以用運化歸思想來解決。

　　三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等干180°．

　　已知：△ABC(如圖1).求證：∠A+∠B+∠C=180°．

　　三角形內(nèi)角和定理有多種證明方法，那么，這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來作一下分析，

　　思路一 要證明三角形的三個內(nèi)角之和等于180°，聯(lián)想到平角的大小是180°．因此，便設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角，為此，用輔助線構(gòu)造出一個平角，再用輔助線(平行線)"移動"內(nèi)角，將其集中起來，或用其它方法將其集中起來，這就是"拼角"的思路[!--empirenews.page--].

“移動內(nèi)角(或用其它方法)”把三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角

　　根據(jù)這個思路，可設(shè)計出多種證法，證法如下：

　　證法一延長邊BC，CD是延長線，并過頂點C作CE∥BA（如圖2），則∠1=∠A(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∠2=∠B(兩直線平行，同位角相等).

　　又∵∠1+∠2+∠ACB＝180° (平角的定義)，[!--empirenews.page--]

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°.

　　證法二過頂點C作DE∥AB(如圖3)，則∠1＝∠A，∠2＝∠B(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．

　　又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°(平角的定義)，

[!--empirenews.page--]∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

　　證法三在BC邊上任取一點D，作DE∥BA，DF∥CA，分別交AC于E，交AB于F(如圖4)，則有∠2＝∠B，∠3＝∠[!--empirenews.page--]C(兩直線平行，同位角相等)，

　　∠1＝∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，

　　∠4＝∠A(兩直線平行，同位角相等)，

　　∴∠1＝∠A(等量代換).

　　又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定義)，

∴∠A+∠B+∠C＝180°.

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　　證法四作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，CE為另一邊畫∠1＝∠A(如圖5)，于是CE∥BA(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).

　　∴∠B＝∠2(兩直線平行，同位角相等).

　　又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°[!--empirenews.page--](平角的定義)，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

　　證法五在△ABC的內(nèi)部任取一點D，連結(jié)AD、BD，并延長分別交邊BC、AC于點E、F，再連結(jié)CD(如圖6)，則有∠7=∠1+∠2，∠8＝∠3+∠4，∠9=∠5+∠6(三角形的任何一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和[!--empirenews.page--]).