小學小學數學數論問題之完全平方數練習4

　　小學小學數學數論問題之完全平方數訓練4

　　1、矩形四邊的長度都是小于10的整數(單位：公分)，這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，并且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數學邀請賽題)。

　　2、求一個四位數，使它等于它的四個數字和的四次方，并證明此數是的。

　　3、求自然數n，使的值是由數字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

　　4、(1986年第27屆IMO試題)

　　5、設正整數d不等于2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方數。

　　6、求k的較大值

　　部分題目答案：

　　1、矩形四邊的長度都是小于10的整數(單位：公分)，這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，并且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數學邀請賽題)。

　　解：設矩形的邊長為x,y，則四位數

　　∵N是完全平方數，11為質數 ∴x+y能被11整除。

　　又 ,得x+y=11。

　　∴∴9x+1是一個完全平方數，而，驗算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。

　　2、求一個四位數，使它等于它的四個數字和的四次方，并證明此數是的。

　　解：設符合題意的四位數為，則，∴為五位數，為三位數，∴。經得，其中符合題意的只有2401一個。

　　3、求自然數n，使的值是由數字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

　　解：顯然，。為了便于估計，我們把的變化范圍放大到，於是，即。∵，∴。

　　另一方面，因已知九個數碼之和是3的倍數，故及n都是3的倍數。這樣，n只有24,27,30三種可能。但30結尾有六個0，故30不合要求。經得

　　故所求的自然數n = 27。