圓周角定理試題與答案（可下載）
2017-03-21 10:59:18 來源：網(wǎng)絡整理
圓周角定理試題及答案！平面與球面的位置關系是中的學習重點，同學們學習這部分內(nèi)容的時候，應該多做試題。下面小編為大家分享圓周角定理試題及答案!希望對大家有所幫助！
圓周定理大匯總
圓周角定理試題及答案
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點E，∠ACD=22。5°，若CD=6cm，則AB的長為（）
A．4cmB．3cmC．2cmD．2cm
2．如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．70°
3．如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB=45°，則sinC的值為（）
A．B．C．D．
4．如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，點P是上任意一點．若AB=5，BC=3，則AP的長不可能為（）
A．3B．4C．D．5
5．如圖，已知A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項中與∠AOB相等的是（）
A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B+∠C
6．如圖，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
7．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
8．如圖，⊙O的直徑AB=2，弦AC=1，點D在⊙O上，則∠D的度數(shù)是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
二．填空題（共6小題）
9．如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數(shù)為_________．
10．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=度．
11．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOB=100°，則∠ACB=_________度．
12．如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數(shù)可以是_________（寫出一個即可）
13．如圖，已知A、B、C三點在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，則∠BOC的度數(shù)是_________．
14．如圖，點A、B、C都在圓O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是_________．
三．解答題（共6小題）
15．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；
�。�2）若AB=4，AC=3，求DE的長．
16．已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．
（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；
�。á颍┤鐖D②，若∠CAB=60°，求BD的長．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠BCD．
�。�1）求證：CB∥PD；
�。�2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．
18．如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
�。�1）求證：MN是半圓的切線；
�。�2）求證：FD=FG．
（3）若△DFG的面積為4。5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．
19．如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度數(shù)．
20．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
�。�1）求∠ABD的大��；
（2）求弦BD的長．
27。1。3圓周角福岡黃蜂回復
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點E，∠ACD=22。5°，若CD=6cm，則AB的長為（）
A．4cmB．3cmC2cmD．2cm
考點：圓周角定理；等腰直角三角形；垂徑定理．
專題：題．
分析：連結OA，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直徑CD垂直于弦AB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE，且可判斷△OAE為等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE進行．
解答：解：連結OA，如圖，
∵∠ACD=22。5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直徑CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE為等腰直角三角形，
∴AE=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=3（cm）．
故選：B．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理．
2．如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．70°
考點：圓周角定理．
專題：題．
分析：先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答：解：∵∠ABC=∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故選：C．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3．如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB=45°，則sinC的值為（）
A．B．C．D．
考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：首先過點A作AD⊥OB于點D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD與OD的長，繼而可得BD的長，然后由勾股定理求得AB的長，繼而可求得sinC的值．
解答：解：過點A作AD⊥OB于點D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA？cos45°=×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=．
故選：B．
點評：此題考查了圓周角定理、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．
4．如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，點P是上任意一點．若AB=5，BC=3，則AP的長不可能為（）
A．3B．4C．D．5
考點：圓周角定理；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系．
專題：幾何圖形問題．
分析：首先連接AC，由圓周角定理可得，可得∠C=90°，繼而求得AC的長，然后可求得AP的長的取值范圍，繼而求得答案．
解答：解：連接AC，
∵在⊙O中，AB是直徑，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∵點P是上任意一點．
∴4≤AP≤5．
故選：A．
點評：此題考查了圓周角定理以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
5．如圖，已知A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項中與∠AOB相等的是（）
A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B+∠C
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)圓周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解答：解：如圖，由圓周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故選：A．
點評：此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
6．如圖，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
考點：圓周角定理；平行線的性質(zhì)．
分析：連接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，進一步得出∠AOC，進一步利用圓周角定理得出∠B的度數(shù)即可．
解答：解：如圖，
連接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故選：D．
點評：此題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，圓周角定理，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．
7．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
考點：圓周角定理；垂徑定理．
專題：壓軸題．
分析：利用垂徑定理得出=，進而求出∠BOD=40°，再利用鄰補角的性質(zhì)得出答案．
解答：解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故選：C．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識，得出∠BOD的度數(shù)是解題關鍵．
8．如圖，⊙O的直徑AB=2，弦AC=1，點D在⊙O上，則∠D的度數(shù)是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
考點：圓周角定理；含30度角的直角三角形．
專題：幾何圖形問題．
分析：由⊙O的直徑是AB，得到∠ACB=90°，根據(jù)特殊三角函數(shù)值可以求得∠B的值，繼而求得∠A和∠D的值．
解答：解：∵⊙O的直徑是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA=，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故選：C．
點評：本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，比較簡單，但在解答時要注意特殊三角函數(shù)的取值．
二．填空題（共6小題）
9．如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數(shù)為80°．
考點：圓周角定理．
分析：直接根據(jù)圓周角定理求解．
解答：解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案為80°．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
10．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=60度．
考點：圓周角定理；平行四邊形的性質(zhì)．
專題：題．
分析：由四邊形OABC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角相等，即可得∠B=∠AOC，由圓周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠OAD+∠OCD的度數(shù)．
解答：解：連接DO并延長，
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案為：60．
點評：此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．
11．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOB=100°，則∠ACB=50度．
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)圓周角定理即可直接求解．
解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故答案是：50．
點評：此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
12．如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數(shù)可以是70°（寫出一個即可）
考點：圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理．
專題：開放型．
分析：當P點與D點重合是∠DAB=75°，與O重合則OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度數(shù)可以是60°﹣﹣75°之間的任意數(shù)．
解答：解：連接DA，OA，則△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直徑，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度數(shù)可以是60°﹣75°之間的任意數(shù)．
故答案為：70°
點評：本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)．
13．如圖，已知A、B、C三點在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，則∠BOC的度數(shù)是70°．
考點：圓周角定理．
專題：題．
分析：根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=90°，再利用互余的定義出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根據(jù)圓周角定理求解．
解答：解：∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案為：70°．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
14．如圖，點A、B、C都在圓O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°．
考點：圓周角定理．
專題：題．
分析：根據(jù)圓周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通過即可得出結果．
解答：解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案為：28°．
點評：此題主要考查圓周角定理，關鍵在于找出兩個角之間的關系，利用代換的方法結論．
三．解答題（共6小題）
15．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；
�。�2）若AB=4，AC=3，求DE的長．
考點：圓周角定理；平行線的性質(zhì)；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得；
�。�2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．
解答：解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
�。�2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
點評：本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是△ABC的中位線是關鍵．
16．已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．
�。á瘢┤鐖D①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；
�。á颍┤鐖D②，若∠CAB=60°，求BD的長．
考點：圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
專題：證明題．
分析：（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
�。á颍┤鐖D②，連接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直徑為10，則OB=5，
∴BD=5．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠BCD．
�。�1）求證：CB∥PD；
�。�2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．
考點：圓周角定理；平行線的判定與性質(zhì)；垂徑定理；解直角三角形．
專題：幾何圖形問題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根據(jù)平行線的判定推出即可；
（2）根據(jù)垂徑定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
解答：（1）證明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
�。�2）解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=，
即=，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直徑是5．
點評：本題考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，平行線的判定的應用，主要考查孩子的推理能力．
18．如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）求證：FD=FG．
�。�3）若△DFG的面積為4。5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．
考點：圓周角定理；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
�。�2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S△DGF=S△ADG，證△BCG∽△ADG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）如右圖所示，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線．
（2）證明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中點，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（3）如圖，連接AD、OD，
∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴=，
∵△ADG的面積為9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面積是16．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．
19．如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度數(shù)．
考點：圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：連接AE，判斷出AB=AC，根據(jù)∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求出∠DOE的度數(shù)．
解答：解：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，把圓周角轉(zhuǎn)化為圓心角是解題的關鍵．
20．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
�。�1）求∠ABD的大�。�
�。�2）求弦BD的長．
考點：圓周角定理；垂徑定理．
分析：（1）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，由圓周角定理即可得出結論；
�。�2）過點O作OE⊥BD于點E，由垂徑定理可知BD=2BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長，進而得出結論．
解答：解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
�。�2）過點O作OE⊥BD于點E，則BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB？cos30°=5×=cm，
∴BD=2BE=5cm．
1．如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點E，∠ACD=22。5°，若CD=6cm，則AB的長為（）
A．4cmB．3cmC．2cmD．2cm
2．如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．70°
3．如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB=45°，則sinC的值為（）
A．B．C．D．
4．如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，點P是上任意一點．若AB=5，BC=3，則AP的長不可能為（）
A．3B．4C．D．5
5．如圖，已知A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項中與∠AOB相等的是（）
A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B+∠C
6．如圖，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
7．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
8．如圖，⊙O的直徑AB=2，弦AC=1，點D在⊙O上，則∠D的度數(shù)是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
二．填空題（共6小題）
9．如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數(shù)為_________．
10．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=度．
11．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOB=100°，則∠ACB=_________度．
12．如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數(shù)可以是_________（寫出一個即可）
13．如圖，已知A、B、C三點在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，則∠BOC的度數(shù)是_________．
14．如圖，點A、B、C都在圓O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是_________．
三．解答題（共6小題）
15．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．
�。�1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；
�。�2）若AB=4，AC=3，求DE的長．
16．已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．
�。á瘢┤鐖D①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；
（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠BCD．
�。�1）求證：CB∥PD；
�。�2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．
18．如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
�。�1）求證：MN是半圓的切線；
�。�2）求證：FD=FG．
（3）若△DFG的面積為4。5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．
19．如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度數(shù)．
20．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大�。�
�。�2）求弦BD的長．
27。1。3圓周角福岡黃蜂回復
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點E，∠ACD=22。5°，若CD=6cm，則AB的長為（）
A．4cmB．3cmC2cmD．2cm
考點：圓周角定理；等腰直角三角形；垂徑定理．
專題：題．
分析：連結OA，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直徑CD垂直于弦AB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE，且可判斷△OAE為等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE進行．
解答：解：連結OA，如圖，
∵∠ACD=22。5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直徑CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE為等腰直角三角形，
∴AE=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=3（cm）．
故選：B．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理．
2．如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．70°
考點：圓周角定理．
專題：題．
分析：先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答：解：∵∠ABC=∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故選：C．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3．如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB=45°，則sinC的值為（）
A．B．C．D．
考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：首先過點A作AD⊥OB于點D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD與OD的長，繼而可得BD的長，然后由勾股定理求得AB的長，繼而可求得sinC的值．
解答：解：過點A作AD⊥OB于點D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA？cos45°=×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=．
故選：B．
點評：此題考查了圓周角定理、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．
4．如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，點P是上任意一點．若AB=5，BC=3，則AP的長不可能為（）
A．3B．4C．D．5
考點：圓周角定理；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系．
專題：幾何圖形問題．
分析：首先連接AC，由圓周角定理可得，可得∠C=90°，繼而求得AC的長，然后可求得AP的長的取值范圍，繼而求得答案．
解答：解：連接AC，
∵在⊙O中，AB是直徑，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∵點P是上任意一點．
∴4≤AP≤5．
故選：A．
點評：此題考查了圓周角定理以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
5．如圖，已知A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項中與∠AOB相等的是（）
A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B+∠C
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)圓周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解答：解：如圖，由圓周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故選：A．
點評：此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
6．如圖，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
考點：圓周角定理；平行線的性質(zhì)．
分析：連接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，進一步得出∠AOC，進一步利用圓周角定理得出∠B的度數(shù)即可．
解答：解：如圖，
連接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故選：D．
點評：此題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，圓周角定理，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．
7．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（）
A．160°B．150°C．140°D．120°
考點：圓周角定理；垂徑定理．
專題：壓軸題．
分析：利用垂徑定理得出=，進而求出∠BOD=40°，再利用鄰補角的性質(zhì)得出答案．
解答：解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故選：C．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識，得出∠BOD的度數(shù)是解題關鍵．
8．如圖，⊙O的直徑AB=2，弦AC=1，點D在⊙O上，則∠D的度數(shù)是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
考點：圓周角定理；含30度角的直角三角形．
專題：幾何圖形問題．
分析：由⊙O的直徑是AB，得到∠ACB=90°，根據(jù)特殊三角函數(shù)值可以求得∠B的值，繼而求得∠A和∠D的值．
解答：解：∵⊙O的直徑是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA=，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故選：C．
點評：本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，比較簡單，但在解答時要注意特殊三角函數(shù)的取值．
二．填空題（共6小題）
9．如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數(shù)為80°．
考點：圓周角定理．
分析：直接根據(jù)圓周角定理求解．
解答：解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案為80°．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
10．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=60度．
考點：圓周角定理；平行四邊形的性質(zhì)．
專題：題．
分析：由四邊形OABC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角相等，即可得∠B=∠AOC，由圓周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠OAD+∠OCD的度數(shù)．
解答：解：連接DO并延長，
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案為：60．
點評：此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．
11．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOB=100°，則∠ACB=50度．
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)圓周角定理即可直接求解．
解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故答案是：50．
點評：此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
12．如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數(shù)可以是70°（寫出一個即可）
考點：圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理．
專題：開放型．
分析：當P點與D點重合是∠DAB=75°，與O重合則OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度數(shù)可以是60°﹣﹣75°之間的任意數(shù)．
解答：解：連接DA，OA，則△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直徑，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度數(shù)可以是60°﹣75°之間的任意數(shù)．
故答案為：70°
點評：本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)．
13．如圖，已知A、B、C三點在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，則∠BOC的度數(shù)是70°．
考點：圓周角定理．
專題：題．
分析：根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=90°，再利用互余的定義出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根據(jù)圓周角定理求解．
解答：解：∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案為：70°．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
14．如圖，點A、B、C都在圓O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°．
考點：圓周角定理．
專題：題．
分析：根據(jù)圓周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通過即可得出結果．
解答：解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案為：28°．
點評：此題主要考查圓周角定理，關鍵在于找出兩個角之間的關系，利用代換的方法結論．
三．解答題（共6小題）
15．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．
�。�1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；
�。�2）若AB=4，AC=3，求DE的長．
考點：圓周角定理；平行線的性質(zhì)；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得；
�。�2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．
解答：解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
�。�2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
點評：本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是△ABC的中位線是關鍵．
16．已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．
�。á瘢┤鐖D①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；
�。á颍┤鐖D②，若∠CAB=60°，求BD的長．
考點：圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
專題：證明題．
分析：（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5；
�。á颍┤鐖D②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
�。á颍┤鐖D②，連接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直徑為10，則OB=5，
∴BD=5．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠BCD．
�。�1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．
考點：圓周角定理；平行線的判定與性質(zhì)；垂徑定理；解直角三角形．
專題：幾何圖形問題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根據(jù)平行線的判定推出即可；
�。�2）根據(jù)垂徑定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
解答：（1）證明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=，
即=，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直徑是5．
點評：本題考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，平行線的判定的應用，主要考查孩子的推理能力．
18．如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
�。�1）求證：MN是半圓的切線；
（2）求證：FD=FG．
�。�3）若△DFG的面積為4。5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．
考點：圓周角定理；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
�。�2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S△DGF=S△ADG，證△BCG∽△ADG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）如右圖所示，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線．
（2）證明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中點，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
�。�3）如圖，連接AD、OD，
∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴=，
∵△ADG的面積為9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面積是16．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．
19．如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度數(shù)．
考點：圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：連接AE，判斷出AB=AC，根據(jù)∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求出∠DOE的度數(shù)．
解答：解：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，把圓周角轉(zhuǎn)化為圓心角是解題的關鍵．
20．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
�。�1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的長．
考點：圓周角定理；垂徑定理．
分析：（1）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，由圓周角定理即可得出結論；
�。�2）過點O作OE⊥BD于點E，由垂徑定理可知BD=2BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長，進而得出結論．
解答：解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
�。�2）過點O作OE⊥BD于點E，則BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB？cos30°=5×=cm，
∴BD=2BE=5cm．
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