2021上海高考數(shù)學復(fù)習：收斂數(shù)列和函數(shù)收斂

　　1、收斂數(shù)列

　　令{an}為一個數(shù)列，且A為一個固定的實數(shù)，如果對于任意給出的b>0,存在一個正整數(shù)N，使得對于任意n>N,有|an-A|

　　2、函數(shù)收斂

　　定義方式與數(shù)列收斂類似。柯西收斂準則：關(guān)于函數(shù)f(x)在點x0處的收斂定義。對于任意實數(shù)b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|

　　收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學分析的精神實質(zhì)。

　　如果給定一個定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x)， u2(x) ，u3(x)……至un(x)……. 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……⑴稱為定義在區(qū)間i上的(函數(shù)項)無窮級數(shù)，簡稱(函數(shù)項)級數(shù)

　　對于每一個確定的值X0∈I,函數(shù)項級數(shù) ⑴ 成為常數(shù)項級數(shù)u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+……+un(x0)+.... (2) 這個級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。如果級數(shù)(2)發(fā)散，就稱點x0是函數(shù)項級數(shù)(1)的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)(1)的收斂點的全體稱為他的收斂域 ，發(fā)散點的全體稱為他的發(fā)散域 對應(yīng)于收斂域內(nèi)任意一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)稱為一收斂的常數(shù)項 級數(shù) ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)S(x)，通常稱s(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，這函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域，并寫成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……把函數(shù)項級數(shù) ⑴ 的前n項部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有l(wèi)im n→∞Sn(x)=S(x)

　　記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級數(shù)項的余項 (當然，只有x在收斂域上rn(x)才有意義，并有l(wèi)im n→∞rn (x)=0

　　3、數(shù)學分析術(shù)語發(fā)散

　　在數(shù)學分析中，與收斂相對的概念就是發(fā)散。發(fā)散級數(shù)指(按柯西意義下)不收斂的級數(shù)。如級數(shù)1+2+3+4+……和1-1+1-1+……，也就是說該級數(shù)的部分和序列沒有一個有窮極限。

　　如果一個級數(shù)是收斂的，這個級數(shù)的項一定會趨于零。因此，任何一個項不趨于零的級數(shù)都是發(fā)散的。不過，收斂是比這更強的要求：不是每個項趨于零的級數(shù)都收斂。其中一個反例是調(diào)和級數(shù)。